TeX’овый программист из меня, конечно, аховый, но в программировании немного
разбираюсь. Так как книжки мне читать неохота, то смотреть я стал сразу файл
/usr/share/texmf-dist/tex/latex/base/latex.ltx. В нём нашёл определение
\footnote:

\def\footnote{\ifnextchar[\xfootnote{\stepcounter\mpfn
    \protectedxdef\thefnmark{\thempfn}
    \footnotemark\footnotetext}}

Далее нашёл определение \footnotemark:

\def\footnotemark{%
  \@ifnextchar[\@xfootnotemark
    {\stepcounter{footnote}%
     \protected@xdef\@thefnmark{\thefootnote}%
     \@footnotemark}}

Затем \@footnotemark:

\def\@footnotemark{%
 \leavevmode
 \ifhmode\edef\@x@sf{\the\spacefactor}\nobreak\fi
 \@makefnmark
 \ifhmode\spacefactor\@x@sf\fi
 \relax}

И, наконец, \@makefnmark:

\def\@makefnmark{\hbox{\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark}}}

Отсюда родился следующий код, исправляющий ситуацию:

\makeatletter
\def\@makefnmark{\hbox{\@textsuperscript{\footnotesize\@thefnmark}}}
\makeatother

Вместо «\footnotesize» вставить нужный размер шрифта. К сообщению прилагаю файл,
на котором я этот способ проверял и полученный из него с помощью pdflatex pdf.